Dominacijski broj za ciklooktanske lance

Sažetak

Uvod/cilj: Hemijske strukture se najpogodnije prikazuju grafovima pri čemu su atomi čvorovi (vrhovi), a hemijske veze grane (linije) u grafu. Grafičko predstavljanje molekula pruža mnogobrojne korisne informacije o njihovim hemijskim svojstvima. Poznato je da su mnogobrojna fizička i hemijska svojstva molekula u visokoj korelaciji sa teorijskim invarijantama grafova koje nazivamo topološki indeksi. Jedna od takvih teorijskih invarijanti je dominacijski broj. Cilj ovog istraživanja jeste određivanje k-dominacijskog broja za ciklooktanske lance CO_n¹, CO_n², CO_n³ i CO_n⁴, gde je k∈{1,2,3}, n∈N. 

Metode: Ciklooktanski lanac je lanac osmouglova povezanih po jednom linijom. Temena osmougla su tretirana kao čvorovi grafa, a stranice i linija koja ih spaja kao grane u grafu. Primenom matematičkih metoda određena je k-dominacija na jednom osmouglu k∈{1,2,3}. Zatim je, predstavljanjem ciklooktanskih lanaca CO_n¹, CO_n², CO_n³ i CO_n⁴ na pogodan, izomorfan način, određen njihov k-dominacijski broj k∈{1,2,3}.

Rezultati: Određujući  k-dominaciju k∈{1,2,3} za 4 ciklooktanska lanca CO_n¹, CO_n², CO_n³ i CO_n⁴ dobili smo 12 različitih formula za izračunavanje njihovog k-dominacijskog broja. Sve formule su sastavljene od više alternativnih algebarskih izraza čiji odabir je uslovljen deljivošću broja n brojem 2, 3 ili 4, zavisno od vrste ciklooktanskog lanca i k-dominacije koja se određuje. Rezultati istraživanja su kompletno izloženi u radu putem teorema, koje su matematički dokazane, i grafičkih prikaza. 

Zaključak: Rezultati pokazuju da su k-dominacijski brojevi k∈{1,2,3} na ciklooktanskim lancima CO_n¹, CO_n², CO_n³ i CO_n⁴ određeni i eksplicitno iskazani matematičkim izrazima. Takođe, upućuju na mogućnost njihove primene u molekularnim grafovima ciklooktanskih prstenova, u računarskoj hemiji, hemijskoj i biološkoj industriji.